Por el centro del círculo dado se traza una paralela a la bisectriz que cortará a la circunferencia dos puntos. El punto de interseccion más cercano a las rectas es el punto buscado

Justificación : Para simplificar un poco el problema trazamos las rectas tangentes a la circunferencia que son paralelas a las rectas dadas. Las lamaremos recta m y recta n. la distancia de Tomemos ahora un punto P cualquiera de la circunferencia. Si comparamos la distancia de P a una de las rectas dadas con su distancia la paralela, evidentemente difieren en una constante. Por lo tanto el problema se reduce a buscar el punto de la circunferencia en el cual es mínima la suma de las distancias a dos rectas tangentes a dicha circunferencia.

Sea O el centro de la circunferencia y sean A y B a los dos puntos de tangencia con las rectas m y n. Evidentemente OA es perpendicular a m y OB es perpendicular a n . Si tomamos un punto P cualquiera de la circunferencia la distancia entre P y la recta m es P´A donde P´ es la proyección ortogonal de P sobre OA y vale R - R cos ( alfa ) donde R es el radio de la circunferencia y alfa es el angulo entra OA y OP
Análogamente la distancia entre P y recta n es P´B donde P´es la proyección ortogonal de P sobre OB y vale R - R cos ( beta ) donde R es el radio de la circunferencia y alfa es el ángulo entre OB y OP.
La suma de las distancias es entonces:

d1+d2 = R - R cos ( beta ) + R - R cos ( alfa )

d1+d2 = 2 R - R [cos( alfa )+cos (beta)]

Pero

alfa+beta=AOB

y entonces es

d1+d2= 2 R - R [cos(alfa)+ cos(AOB - alfa)]

di+d2 se hace mínimo cuando el corchete se hace máximo La expresión

[cos( alfa )+cos (AOB - alfa)]

se hace maxima cuando alfa = AOB - alfa , es decir cuando

alfa = AOB / 2

y esto ocurre cuando P esta sobre la paralela a la bisectriz .

eudemo