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Nombre: Casper Tema: Ángulo de observación

Me han propuesto el siguiente problema que no se resolver:
En un triángulo rectángulo ABC, la hipotenusa BC, de longitud a, está dividida en n partes iguales con n impar.
Sea alfa el ángulo agudo con vértice en A que subtiende el segmento que contiene el punto medio de la hipotenusa. Sea h la longitud de la altura sobre la hipotenusa del triángulo. Probar que tangente de alfa es igual a:.
4 n h / [a.(n^2-1)]

Tema: Ángulo de observación. Respuesta de eudemo

El problema es un poco largo, pero no deja de ser interesante.

Al segmento que contiene al punto medio de la hipotenusa lo llamaremos PQ
La longitud de PQ es a/n.
Sea M el punto medio de la hipotenusa que tambien es punto medio de PQ.
Tenemos que PM = MQ = a/(2n) (por ser M punto medio de PQ)
y tambien BM = MC = a/2 (por ser M punto medio de la hipotenusa BC).

Ahora,al pie de la altura en A (proyección del punto A sobre la hipotenusa)
lo llamare punto R.
Notemos que la longitud de AR es justamente h la altura que es dato del problema
Al ángulo PAQ lo podemos hallar como la diferencia entre
el ángulo RAQ y el ángulo RAP.
Esto tiene de bueno que los triángulos RAQ y RAP
son rectágulos en R, y esto nos permite expresar las tangentes como cociente entre catetos:

tangente del ang. RAQ = RQ/h

tangente del ang. RAP = RP/h

Si nos fijamos en el punto medio M podemos ver que:

RQ= RM + a/(2n)
RP= RM - a/(2n)

por lo tanto

tangente del ang.RAQ = [RM + a/(2n)]/h = RM/h + a/(2nh)

tangente del ang.RAP = [RM - a/(2n)]/h = RM/h - a/(2nh)

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Dicho esto, como ya tenemos expresadas las tangentes de los ángulos
cuya difrencia queremos saber nos lanzamos rapidamente
a la formula trigonometrica que da la tangente de
la diferencia de dos ángulos (los llamaré fi y chi):

tg (fi-chi)= [tg(fi)-tg(chi)] / [1+ tg(fi) * tg(chi)]

En nuestro caso fi=RAQ y chi=RAP

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Calculemos numerador y denominador por separado

El numerador es la diferencia de las tangentes es:

[RM + a/(2n)]/h -[RM - a/(2n)]/h

que felizmente da:

a/(nh)

es decir el ancho del segmento PQ dividido por h.

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El denominador es uno mas el producto de las tangentes
pero este producto es:

una suma: RM/h + a/(2nh)
por una diferencia: RM/h - a/(2nh)
que como sabemos es el la diferencia de los cuadrados:

de RM/h y a/(2nh)

[1+ tg(fi) * tg(chi)]= 1 + (RM^2 ) / (h^2) - (a/n)^2 / 4(h^2)

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Haciendo el cociente tenemos:

tg (fi-chi)= a/(nh) / [1 + RM^2 / h^2 - (a/2hn)^2 ]

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Todo lo que nos resta hacer es expresar a RM en funcion de h y la hipotenusa a.

La cosa es que RM es la diferencia entre CM-CR=a/2 - CR ,

El segmento CR es la proyeccion del cateto CA sobre la hipotenusa.
Nuestro problema es ahora como sigue :

" expresar la proyección de un cateto de un triángulo
rectángulo en función de la hipotenusa y la altura de ese triángulo"

( supongamos desde aqui que BA es el cateto mayor)

Sea b la longitud del cateto CA y
c la longitud del cateto BA.

Facilmente se demuestra por semejanza que:

CR = b^2/a

Entonces debemos calcular b en función de a y h.
Resulta que el area del un triángulo rectángulo es:

Area = 1/2 a * h

y tambien igual a:

Area = 1/2 b c

Por lo tanto:

a * h = b * c

Elevando al cuadrado es

a^2*h^2= b^2 * c^2

Como por Pitágoras es c^2 = a^2 - b^2 , reemplazando c es:

a^2 * h^2 = b^2 * (a^2 - b^2)

a^2 * h^2 = b^2 * a^2 - b^4

b^4 - a^2 * b^2 + a^2 * h^2 = 0

Ecuacion bicuadrada una de cuyas soluciones es

b^2 = a^2/2 - a * (a^2/4 - h^2)^(1/2)

y reemplazando en CR = b^2/a es:

CR= a/2 - (a^2/4 - h^2)^(1/2)
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Entonces RM = a/2 - CR = a/2-a/2 + (a^2/4 - h^2)^(1/2)

(a/2 y -a/2 se simplifican) y queda

RM = (a^2/4 - h^2)^(1/2)

Elevando al cuadrado es

RM^2 = (a^2 / 4 - h^2)

RM^2/h^2= a^2 /4h^2 - 1

1+RM^2/h^2 = a^2 /4h^2

tg (fi-chi) = a/(nh) / [ a^2 /4h^2 - (a/2hn)^2 ]=

Multiplicando por n cuadrado numerador y denominador es

tg (fi-chi) = 4 n h / [(n^2-1)*a]