Nombre: Casper Tema: Ángulo de observación |
Me han propuesto el siguiente problema que no se resolver:
En un triángulo rectángulo ABC, la hipotenusa BC, de longitud a, está dividida en n partes iguales con n impar. Sea alfa el ángulo agudo con vértice en A que subtiende el segmento que contiene el punto medio de la hipotenusa. Sea h la longitud de la altura sobre la hipotenusa del triángulo. Probar que tangente de alfa es igual a:. |
Tema: Ángulo de observación. Respuesta de eudemo |
El problema es un poco largo, pero no deja de ser interesante.
Al segmento que contiene al punto medio de la hipotenusa lo llamaremos PQ La longitud de PQ es a/n. Sea M el punto medio de la hipotenusa que tambien es punto medio de PQ. Tenemos que PM = MQ = a/(2n) (por ser M punto medio de PQ) y tambien BM = MC = a/2 (por ser M punto medio de la hipotenusa BC). Ahora,al pie de la altura en A (proyección del punto A sobre la hipotenusa) lo llamare punto R. Notemos que la longitud de AR es justamente h la altura que es dato del problema Al ángulo PAQ lo podemos hallar como la diferencia entre el ángulo RAQ y el ángulo RAP. Esto tiene de bueno que los triángulos RAQ y RAP son rectágulos en R, y esto nos permite expresar las tangentes como cociente entre catetos: tangente del ang. RAQ = RQ/h tangente del ang. RAP = RP/h Si nos fijamos en el punto medio M podemos ver que: RQ= RM + a/(2n) RP= RM - a/(2n) por lo tanto tangente del ang.RAQ = [RM + a/(2n)]/h = RM/h + a/(2nh) tangente del ang.RAP = [RM - a/(2n)]/h = RM/h - a/(2nh) ------------------------------ Dicho esto, como ya tenemos expresadas las tangentes de los ángulos cuya difrencia queremos saber nos lanzamos rapidamente a la formula trigonometrica que da la tangente de la diferencia de dos ángulos (los llamaré fi y chi): tg (fi-chi)= [tg(fi)-tg(chi)] / [1+ tg(fi) * tg(chi)] En nuestro caso fi=RAQ y chi=RAP ---------------------------------- Calculemos numerador y denominador por separado El numerador es la diferencia de las tangentes es: [RM + a/(2n)]/h -[RM - a/(2n)]/h que felizmente da: a/(nh) es decir el ancho del segmento PQ dividido por h. --------------------------------------------------- El denominador es uno mas el producto de las tangentes pero este producto es: una suma: RM/h + a/(2nh) por una diferencia: RM/h - a/(2nh) que como sabemos es el la diferencia de los cuadrados: de RM/h y a/(2nh) [1+ tg(fi) * tg(chi)]= 1 + (RM^2 ) / (h^2) - (a/n)^2 / 4(h^2) ------------------------------------------------------------- Haciendo el cociente tenemos: tg (fi-chi)= a/(nh) / [1 + RM^2 / h^2 - (a/2hn)^2 ] --------------------------------- Todo lo que nos resta hacer es expresar a RM en funcion de h y la hipotenusa a. La cosa es que RM es la diferencia entre CM-CR=a/2 - CR , El segmento CR es la proyeccion del cateto CA sobre la hipotenusa. Nuestro problema es ahora como sigue : " expresar la proyección de un cateto de un triángulo rectángulo en función de la hipotenusa y la altura de ese triángulo" ( supongamos desde aqui que BA es el cateto mayor) Sea b la longitud del cateto CA y c la longitud del cateto BA. Facilmente se demuestra por semejanza que: CR = b^2/a Entonces debemos calcular b en función de a y h. Resulta que el area del un triángulo rectángulo es: Area = 1/2 a * h y tambien igual a: Area = 1/2 b c Por lo tanto: a * h = b * c Elevando al cuadrado es a^2*h^2= b^2 * c^2 Como por Pitágoras es c^2 = a^2 - b^2 , reemplazando c es: a^2 * h^2 = b^2 * (a^2 - b^2) a^2 * h^2 = b^2 * a^2 - b^4 b^4 - a^2 * b^2 + a^2 * h^2 = 0 Ecuacion bicuadrada una de cuyas soluciones es b^2 = a^2/2 - a * (a^2/4 - h^2)^(1/2) y reemplazando en CR = b^2/a es: CR= a/2 - (a^2/4 - h^2)^(1/2) ----------- Entonces RM = a/2 - CR = a/2-a/2 + (a^2/4 - h^2)^(1/2) (a/2 y -a/2 se simplifican) y queda RM = (a^2/4 - h^2)^(1/2) Elevando al cuadrado es RM^2 = (a^2 / 4 - h^2) RM^2/h^2= a^2 /4h^2 - 1 1+RM^2/h^2 = a^2 /4h^2 tg (fi-chi) = a/(nh) / [ a^2 /4h^2 - (a/2hn)^2 ]= Multiplicando por n cuadrado numerador y denominador es tg (fi-chi) = 4 n h / [(n^2-1)*a] |
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